La matrice identità
La matrice identità (identity matrix) è una matrice quadrata con tutti gli elementi lungo la sua diagonale principale sono 1, mentre tutti gli altri elementi sono 0.
E' conosciuta anche come matrice unità o matrice identica.
E' un concetto fondamentale nella matematica, in particolare nell'algebra lineare.
$$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Questa matrice è comunemente indicata con "I" o "In", dove "n" rappresenta il numero di righe (o colonne) della matrice.
Nell'esempio precedente n=4 perché la matrice quadrata ha 4 righe e 4 colonne.
Ogni matrice identità è una matrice quadrata, il che significa che ha lo stesso numero di righe e colonne. Ovviamente, non vale l'inverso. Non tutte le matrici quadrate sono anche matrici identità.
Ecco un esempio pratico.
Considera una matrice identità di dimensione 3 (I3), con tre righe e tre colonne, si presenta in questo modo:
$$ I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
La diagonale principale della matrice è composta da 1 mentre tutti gli altri elementi della matrice sono uguali a 0.
Le proprietà delle matrici identità
La matrice identità ha molte proprietà uniche e utili.
La più importante proprietà è che, quando la matrice unità è moltiplicata per qualsiasi altra matrice, il risultato è la matrice stessa.
Ad esempio, considera la matrice M
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Ora moltiplica la matrice M per la matrice identità I2, il risultato è la matrice M stessa.
$$ M \cdot I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
In altre parole, moltiplicare una matrice per la matrice identità non cambia la matrice. Questo è simile al modo in cui moltiplicare un numero per 1 non cambia il numero.
Quindi, la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici quadrate n x n.
Nota. In questo caso, essendo due matrici quadrate, vale anche la proprietà commutativa della moltiplicazione. Quindi M·I o I·M restituisce lo stesso risultato. $$ M \cdot I_3 = I_3 \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Inoltre, la matrice identità è invertibile, e la sua matrice inversa è la stessa matrice identità.
Questo la rende un elemento fondamentale in molte operazioni matematiche, come la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.
Ad esempio, considera la matrice identità I2.$$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ La sua matrice inversa di I2-1 è uguale a I2.$$ I_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
In sintesi, la matrice identità possiede diverse proprietà uniche che la rendono indispensabile in molte operazioni e trasformazioni matematiche.
