Come risolvere un sistema di equazioni su Octave

In questa lezione ti spiego come si risolve un sistema di equazioni lineari su Octave usando il calcolo matriciale e vettoriale.

Ti faccio un esempio pratico.

Questo sistema di equazioni è composto da due equazioni lineari con due variabili incognite

$$ \begin{cases} x+5y-3 = 0 \\ \\ 2x-4y+8=0 \end{cases} $$

Scrivi il sistema nella forma normale ax+by=c

$$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$

Poi trasforma il sistema di equazioni in forma vettoriale

$$ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

La prima matrice è la matrice dei coefficienti delle variabili x e y.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} $$

Per definire la matrice dei coefficienti su Octave digita

>> A = [ 1 , 5 ; 2 , -4 ]
A =
1 5
2 -4

Il primo vettore è il vettore delle incognite

Sono i valori delle incognite che devi trovare

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Il secondo vettore è il vettore dei termini noti delle due equazioni

$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

Per definire il vettore dei termini noti su Octave digita

>> b = [ 3 ; -8 ]
b =
3
-8

Nella forma vettoriale il sistema di equazioni è il prodotto di una matrice per un vettore.

$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$

Per trovare le soluzioni del sistema di equazioni ricava il vettore x in funzione di tutto il resto.

$$ \vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b} $$

Dove A^-1 è la matrice inversa della matrice dei coefficienti A.

Svolgi il calcolo A^-1·b su Octave

>> inv(A)*b
ans =
-2
1

Il risultato sono i valori x e y che compongono il vettore delle incognite

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Hai trovato la soluzione del sistema di equazioni

$$ x=-2 $$

$$ y=1 $$

Il sistema di equazioni ha una soluzione (x;y)=(-2;1)

Verifica se la soluzione è corretta. Sostituisci i valori x=-2 e y=1 nel sistema di equazioni e svolgi i calcoli. $$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -2 + 5 \cdot 1 =3 \\ \\ 2 \cdot (-2) -4 \cdot 1 =-8 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 3 =3 \\ \\ -8 =-8 \end{cases} $$ Entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte. Quindi la soluzione x=-2 e y=1 è corretta

Se questa lezione di StemKB su Octave è utile, continua a seguirci.