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Gli autovalori di una matrice su Octave

In questa lezione ti spiego come si calcolano gli autovalori di una matrice su Matlab.

Cosa sono gli autovalori? Gli autovalori sono le soluzioni dell'equazione caratteristica associata a una matrice quadrata.

Ti faccio un esempio pratico

Crea una matrice quadrata 2x2 e assegnala alla variabile M

>> M = [ 1 2 ; 0 3 ]
M =
1 2
0 3

Digita eig(M) sulla riga di comando per calcolare gli autovalori della matrice quadrata M.

>> eig(M)
ans =
1
3

Gli autovalori della matrice quadrata M sono gli scalari 1 e 3.

Verifica. Facciamo una verifica per controllare se il risultato è giusto. La matrice quadrata usata nell'esempio è la seguente M $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ Il polinomio caratteristico PM(λ) della matrice M si ottiene calcolando il determinante di M-λ·Id $$ P_M(λ) = \det(M-\lambda \cdot Id) $$ dove M è la matrice quadrata, Id è una matrice identità dello stesso ordine e λ è una variabile incognita. $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \cdot (3-\lambda)$$ $$ P_M(λ) = 3 - \lambda - 3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ P_M(λ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$ L'equazione caratteristica della matrice è il polinomio caratteristico P(x)=0 posto uguale a zero $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$ Gli autovalori sono le soluzioni dell'equazione caratteristica. In questo caso l'equazione caratteristica è un'equazione di 2° grado. $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = \begin{cases} \lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \\ \\ \lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \end{cases} $$ In conclusione, gli autovalori della matrice M sono gli scalari 1 e 3. Il risultato è corretto.




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