Il calcolo del polinomio caratteristico su Octave
In questa lezione ti spiego come calcolare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata se utilizzi Octave.
Cos'è il polinomio caratteristico? Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A si ottiene con questa formula. $$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ E' il determinante della differenza tra una matrice quadrata A e una matrice identità Idn dello stesso ordine (n) moltiplicata per una variabile lamda (λ). A cosa serve? Il polinomio caratteristico è utile per calcolare gli autovalori.
Ti faccio un esempio pratico.
Crea una matrice quadrata nella variabile M
>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1
In questo caso si tratta di una matrice 2x2 con due righe e due colonne.
$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Digita la funzione poly(M) per ottenere il polinomio caratteristico della matrice M
>> poly(M)
ans =
1 -3 2
Il risultato in output è una sequenza di numeri 1 , -3 , 2
Sono i coefficienti della variabile lambda (λ) nel polinomio caratteristico
$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda^1 + 2 \cdot \lambda^0 $$
Nota. I numeri nella sequenza indicano i coefficienti della variabile lambda (λ) con il grado in ordine decrescente. L'ultimo numero della sequenza è il coefficiente della variabile di grado zero (λ0). Il penultimo è il coefficiente della variabile di grado uno (λ1) e via dicendo.
$$ \lambda^2 - 3 \lambda^1 + 2 \cdot 1 $$
$$ \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
Il risultato finale è il polinomio caratteristico della matrice M.
$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
Verifica. Svolgi i calcoli del polinomio caratteristico a mano. $$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = 2 - 2 \lambda - \lambda + \lambda^2 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ Il risultato finale è corretto. E' lo stesso polinomio caratteristico ottenuto con la funzione poly(M).
