Il calcolo del rango di una matrice su Octave

In questa lezione ti spiego come si calcola il rango (o caratteristica) di una matrice su Octave.

Cos'è il rango? Il rango di una matrice è il numero più alto di righe o colonne linearmente indipendenti della matrice. E' la dimensione dello spazio vettoriale generato dai vettori colonna. Ad esempio, questa matrice ha solo una riga linearmente indipendente. $$ rank \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1 $$ perché i due vettori in colonna sono vettori linearmente dipendenti tra loro. Puoi ottenere ogni vettore in colonna come multiplo dell'altro $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Ti faccio un esempio pratico.

Definisci una matrice 3x3 con tre righe e tre colonne e assegnala alla variabile M

>> M = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ]
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9

Digita la funzione rank(M) per trovare il rango della matrice.

>> rank(M)
ans = 2

Il rango della matrice è uguale a 2.

Verifica. Il determinante della matrice 3x3 è nullo. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = 0 $$ Quindi la matrice non può avere rango uguale a 3. A questo punto devi verificare se esiste una sottomatrice 2x2 con determinante non nullo all'interno della matrice. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $$ Almeno una sottomatrice 2x2 ha il determinante diverso da zero. Pertanto, il rango della matrice M è uguale a 2.